Le Siteswap
(ou les mathématiques du jonglage)
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Sommaire:
Bref historique
Pourquoi le Siteswap?
Principes de base
    Notation basique
    Simplification
    Décortication de la figure
    Cas particuliers : transfert, balle gardée et main vide
Propriétés du siteswap
Validation d’une séquence siteswap
Comment vérifier si une séquence est valide?
Siteswap et 3 balles
Siteswap et figures multiplex
Siteswap et figures synchrones
Douches et cascades: une même famille

Quelques exemples de figures en siteswap
 

 
Bref historique

C’est en 1985 que 3 américains et 1 anglais (Bruce Tiemann (*), Bengt Magnusson, Paul Klimek, et Mike Day) passionnés de jonglerie et/ou de mathématiques eurent l’idée de créer un langage spécifique à cette discipline qui devait permettre de codifier simplement toute figure de jonglage. Grâce à Internet et à ses forums,  ils ont pu efficacement  élaborer leur théorie du siteswap ; on retrouve d'ailleurs dans les archives du site www.juggling.org, quelques unes de leurs discussions sur le sujet.
 

(*) Bruce Tiemann dit " Boppo " de l’université du Collorado réalise un étonnant flash 11 balles
 
 

Pourquoi le siteswap ?

La description classique consistant à expliquer par le texte ou la parole est obligatoirement lourde et peut être différemment interprétée suivant l’individu ; en effet le jonglage étant principalement visuel, il n’est pas du tout évident, même en y rajoutant des dessins, de décrire précisément et simplement chacun des mouvements (quelquefois rapides) constituant une figure; alors que l’interprétation d’une figure décrite en siteswap est aisée et non ambiguë, il existe même des automates (logiciel pour PC par exemple) qui permettent de visualiser toute figure décrite en siteswap.
 

Depuis, nombreux sont les mathématiciens ou informaticiens qui ont travaillé autour de ces nombres magiques, des forums sur Internet traitent du sujet, quelques passionnés travaillent sur ce thème en associant au siteswap la Topologie et la Théorie des Groupes. En particulier Edward Carstens (Université du Missouri) qui a développé une notation étendue du SiteSwap appelée MHN (Multiple Hand Notation) à base de matrices à 3 dimensions qui permet de codifier des figures en " passing " (plusieurs jongleurs à la fois). Il est de plus l’auteur d’un puissant générateur informatique de figures en MHN (JP2).
 

Les artistes de cirque moderne commencent à intégrer dans leurs numéros de nouvelles figures déduites du SiteSwap, notamment les figures en passing (2,3 voire 4 jongleurs en même temps).
 
 
 

Principes de base

Le siteswap décrit précisément le " qui, quoi, quand " c’est à dire la main qui lance (droite ou gauche), celle qui reçoit, le nombre d’objets lancés, l’instant du lancer, ainsi que son amplitude ou durée de vol (Airtime en anglais).

Pour l’instant ce codage ne décrit pas le " ou, comment ", en clair pas de description de prise de main (exemple : pattes de chat) ni de mouvements de mains (exemple : mains croisées ou derrière le dos) ; et c’est là le seul défaut du Siteswap ; mais qui est de taille car certaines figures très visuelles ne sont que le résultat d’un placement particulier des mains (par exemple le Mill’s Mess). Malgré cela, le SiteSwap ouvre des tas de possibilités techniques qui sans lui n’aurait jamais été soupçonnées.
 
 

Notation basique

Tout est basé sur la description du couple (espace, temps) :
 

on appelle "1 Temps" le délai entre 2 lancers (D G ou G D), le jonglage est rythmé comme une musique, le siteswap en est sa partition




Le chiffre n’est pas proportionnel à la hauteur, mais à la durée, ainsi un lancer de 6
durera 2 fois plus longtemps qu’un lancer de 3 ; la hauteur étant elle, bien plus du double

De plus, ce chiffre étant exprimé en unité de temps (fonction donc du rythme imposé par le jongleur), une même figure exécuté plus rapidement (sur un tempo court) ou plus lentement (sur un tempo long) aura la même notation Siteswap.


 

Simplification

La séquence citée en exemple ci-dessus peut être simplifiée :


Ce seul nombre 3 suffit donc à décrire la cascade 3 balles, alors qu’il aurait fallu une bonne vingtaine de lignes d’explication, pour la décrire par le texte.
 

De même la séquence 505055050550505 ….. se simplifie en 50505 ou 05055 ou 50550 ou encore 55050, par principe on retiendra la dernière car on range la séquence dans l’ordre des chiffres décroissants (sans inverser de chiffres). Autre exemple, parmi ces trois formes équivalentes 423, 234 ou encore 342, la notation " normalisée " est la première.
 
 

Décortication de la figure

Prenons l’exemple de la cascade 3 balles, elle se note : 3

En développant on obtient:      D3 G3 D3 G3 D3 G3 ..……..

On peut facilement représenter le cheminement des balles :
 
 





On peut noter que toute balle lancée change de main (normal dès que la durée de vol est impaire on change forcément de main), toute balle est lancée tous les 3 temps, et leur trajectoire se croise.
 
 
 

Cas particuliers : transfert, balle gardée et main vide

Il manquait à cette notation quelques éléments particuliers qui apparaissent dans différentes figures, tels une main vide, une balle transférée immédiatement ou une balle qui n’est pas lancée.

Ces cas particuliers sont à considérer comme de réels lancers :

- main vide : ce lancer se note 0

- transfert ou balle qui change de main immédiatement : ce lancer se note 1

- balle gardée ou non lancée : ce lancer se note 2

Les durées de vol exprimées ici pour ces cas particuliers correspondent bien à la réalité. Par exemple, si le jongleur garde une balle en main au lieu de la lancer, il attendra exactement 2 temps avant de pouvoir la relancer.
 
 

Grâce à ces cas particuliers, toutes les figures même si elles ne font intervenir qu’une seule main peuvent être codées. Par exemple 2 balles avec 1 main se note 40 (soit D4 G0 D4 G0 D4 G0 ……). On notera ici que la durée de vol de 4 fait que la balle retombe dans la même main (ceci est vrai pour tout lancer d’une valeur paire). De plus le choix est laissé au jongleur de choisir quelle main va lancer (on pourrait interpréter 40 par G4 D0 G4 D0 G4 D0 ….)
 
 
 

Propriétés du siteswap


 
 

Validation d’une séquence siteswap

Une séquence Siteswap est dite valide si elle peut être jonglée, pas au sens " existe-il un jongleur qui la réalise " mais au sens son exécution est physiquement possible.

Le seul postulat qui permet à une séquence de chiffre (à priori quelconque) d’être une séquence SiteSwap est le suivant :

Les différents lancers décrits dans la séquence ne doivent pas provoquer de collision au niveau des objets lancés. Il y a collision si au moins 2 objets arrivent au même instant dans la même main.
 
 
 
 

Nota : le siteswap est théorique, la taille des objets n’entre pas en ligne de compte, donc en pratique il peut y a voir des collisions même si la séquence est valide. Par exemple : il est humainement possible de jongler avec 11 balles, alors qu’avec 11 massues c’est impossible (essayez de jongler avec 3 ballons en cascade, c’est bien plus difficile qu’avec 3 balles).
 
 

Exemple de séquence non valide : 432
 

Il est clair que les 3 premiers lancers aboutissent ensemble sur la même main, ce qui est le signe d’une triple collision, la séquence correcte est 423
 

Voici le développement de la séquence correcte 423:
 

Ici, aucune collision n’est visible.

On peut noter qu’une seule balle est échangée entre main Droite et main Gauche (ici balle 3), les autres balles (1 et 2) ne changent pas de main.
 
 

Comment vérifier si une séquence est valide ?

Soit la séquence siteswap à valider : B1 B2 B3 B4 …..Bn.

Cette séquence a une période n (c’est en fait la longueur de la séquence après simplification)

Il suffit de rajouter à chacun des éléments son rang dans la séquence, en fait son temps de lancer, ainsi on ajoute 0 à B1, 1 à B2 …… (n-1) à Bn.

On obtient alors une nouvelle séquence: C1 C2 C3 ….. Cn

On simplifie chacun des termes C1 C2 … Cn par le modulo de n (dès que Ci est >= n, on soustrait n)

Le résultat obtenu est une nouvelle séquence: D1 D2 D3 …. Dn

Si D1 D2 D3 …. Dn est une permutation de 0 1 2 …. n, la séquence est valide. En effet dès qu’il existera au moins 2 éléments Di identiques ce sera le signe d’une collision.
 

Rien compris ?  reprenons l’exemple précédent :

Pour 432 :         432 + 012 = 444   soit  444 (modulo 3) = 111 à il y a triple collision

Alors que 423 :  423 + 012 = 435   soit   435 (modulo 3) = 102 à pas de collision, la séquence est valide
 
 

Remarque importante :En pratique, avant d’appliquer la démonstration précédente, on vérifie d’abord la propriété qui veut que la moyenne des chiffres composant la séquence soit entière ; en effet le nombre d’objets utilisés est obligatoirement entier, par exemple 532 n’est pas valide car sa moyenne vaut 3,33.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Siteswap et 3 balles

Il y a souvent des différences entre la théorie et la réalité, le siteswap n’échappe pas à cette règle, et notamment avec les figures à 3 balles.

Petite explication, un jongleur normalement constitué possède 2 mains, en utilisant 3 balles, il se retrouve souvent dans la position ou il possède 2 balles en mains la 3ième étant en l’air, cette balle peut avoir de l’avance ou du retard dans la figure, cela n’aura aucune conséquence sur son bon déroulement. Bien au contraire cela peut amener un effet inattendu voire spectaculaire ; d’ailleurs beaucoup de figures très visuelles à trois balles sont basées sur des changements de rythme dans les lancers au sein même de la figure.

C’est une des raisons qui font qu’une même figure réalisée par des jongleurs différents a rarement le même effet. C'est pourquoi les plus beaux effets visuels sont réalisés avec 3 balles et que le jongleur peut s'exprimer pleinement en jouant sur des changement de rythmes, des placements de mains inattendus qui en font alors un véritable illusionniste.

Ceci est beaucoup moins vrai à partir de 4 balles car le moindre désynchronisme dans la figure aboutit à son échec, le jongleur est donc tenu de respecter le rythme des lancers tels qu’ils sont décrits par le Siteswap.
 
 

Exemples :

La figure 423 qui autorise des tas de combinaisons suivant le placement des bras et est très influencée aussi par la durée du 2 ; en respectant le siteswap, on obtient la figure équivalente mais + lente qui est 42522 mais il existe une infinité d’autres situations entres 423 et 42522 que malheureusement le siteswapp ne nous permet pas d’écrire ( par exemple : 4 2,5 4,5 2 2). Par exemple le Fake alterné qui est à base de 423 mais avec un lancer 3 qui vaut en fait un 4 en durée (pour que la figure soit belle, il faut en effet que tous les lancers soient identiques)

Autre exemple le " Rubenstein Revenge " 52233 (cf. Chapître : Exemples de figures en Siteswap) il est possible de faire un lancer 5 plus court, permet de diminuer la durée des 2 et d’obtenir une figure plus " groupée ". La figure appelée " Tennis " utilise ce même Siteswap 52233, et ici c’est encore plus évident, le jongleur peut effectuer en lançant le 5 moins fort, tout juste un peu plus du 3 afin que la balle " tennis " passe juste au dessus des 2 autres; dans ce cas on pourrait noter sans respecter le siteswap 3,2 2,9 2,9 . D’ailleurs la plus part du temps on note cette figure 3.
 
 

En conclusion, on peut dire que pour les figures à 3 balles le siteswap est trop contraignant sur le rythme régulier imposé aux différents lancers, il suffit que le jongleur sache qu’en modifiant légèrement le rythme il pourra " lisser " idéalement sa figure et la rendre plus visuelle ; les programmes informatiques pour visualiser du Siteswap ne permettent pas toujours ce " tuning ", car ils interprètent nominalement et précisément la séquence à jongler.

Par contre, à partir de 5 balles ou plus et/ou 4 mains (passing 2 jongleurs) ou plus, il est obligatoire de respecter le bon rythme pour réussir à " tenir " la figure, en effet le moindre décalage dans le timing est très difficile à récupérer, car un léger retard ou avance dans un lancer va influencer la balle suivante.
 
 
 

Siteswap et figures multiplex

Jusqu’ici le siteswap nous a permis de codifier des figures simplex, pour lesquelles il y a au plus 1 balle par lancer ; une variante intéressante du jonglages permet de lancer 2, 3 voire 4 balles à la fois ; bien attendu la contrainte de " non collision " présenté précédemment doit être respectée, pour ce faire les balles lancées à la fois ont des durée de vol différentes.

Le principe est le suivant :


 
 

Exemples :

-1- Commençons par une figure simple, sur le rythme de la cascade 3 balles avec 5 balles en mains : [32]
Chacun des lancers utilise 2 balles, 1 balle (le 3) est lancée dans l’autre main, l’autre balle (le 2) est conservée en main.
 


 

-2- La figure multiplex à 5 balles [54][22]2 est une des plus classiques ; on lance 2 balles à chaque fois une des 2 balles est croisée, l’autre revient dans la même main (ainsi de suite)
 
 


C’est déjà moins évident à décortiquer, on peut tout de même remarquer que toute balle lancée (en 5 ou 4), est ensuite conservée en main (même main pour le 4, l’autre main pour le 5) et que toutes les balles tournent et se mélangent.
 
 
 
 

Siteswap et figures synchrones

Certaines figures en jonglage demandent à effectuer des lancers simultanés (mains droite et gauche lancent en même temps), la notation Siteswap de base ne permet pas de codifier ce type de figures, en effet elle oblige à effectuer les lancers en asynchrone (main droite puis main gauche puis main droite ………).

Le principe de la notation SiteSwap des lancers synchrones est le suivant.

Des exemples :

-1- La figure à 2 balles qui consistent à échanger simultanément les balles dans chacune des mains se note :

                                                                    (2X,2X)
 

                                L’échelle des temps se trouve divisée par 2 du fait qu’il n’y a que des lancers pairs.
 
 

-2- Autre exemple, la célèbre boîte à 3 balles se note :

                                                                (4,2X) (2X,4)
 


On peut remarquer qu’une seule balle change de main, c’est la balle 2, elle est aussi lancée 2 fois plus souvent que les 2 autres (effectivement sa durée de vol étant 2 fois moindre, pour compenser il faut la lancer 2 fois plus)
 
 

-3- Dernier exemple, la demi-douche 3 balles : c’est comme une douche classique sauf que les lancers sont simultanés (cette figure donne l’impression d’une roue sans fin) :

                                                                        (4X,2X)

L’exemple précédent (la boîte) est en fait l’association des débuts de 2 demi-douches de sens opposés.
 
 

Douches et cascades : une même famille

Aussi bizarre que cela puisse paraître, les douches et cascades appartiennent en fait à la même grande famille de figures, celle appelée abusivement "demi-douches" (mi_douche mi_cascade).

Pour comprendre, développons les séquences siteswap pour 3, 4 et 5 balles en se limitant aux combinaisons de longueur 2.

Avec 3 balles on obtient  4 figures différentes :     33      (cascade classique à 3)
                                                                        42 noté (4x,2x)    (demi-douche à 3)
                                                                        51           (douche à 3)
                                                                        60           (douche 1 main)

Avec 4 balles on obtient  5 figures différentes :     44 noté (4x,4x)  (cascade)
                                                                        53                (demi-douche)
                                                                        62 noté (6x,2x)  (demi-douche)
                                                                        71            (douche)
                                                                        80            (douche)

Avec 5 balles on obtient  6 figures différentes :     55       (cascade)
                                                                        64 noté (6x,4x)   (demi-douche)
                                                                        73                 (demi-douche)
                                                                        82 noté (8x,2x)   (demi-douche)
                                                                        91        (douche)
                                                                        A0       (douche)
ainsi de suite pour 6, 7  balles et plus .....
 

Explications:

La douche de base à 3 balles se note 51,   il s’agit de remplacer la balle du " 1 " par un lancer un peu plus élevé soit "2x", et le " 5 " par un lancer un peu plus bas soit "4x",  on obtient alors la demi douche qui se note (4x,2x). Si l'on applique une seconde fois, ce processus , le "4x" devient 3 et le "2x" aussi, on obtient alors 33 ou 3 (cascade 3 balles). On est donc passé de la douche à la cascade (ou inversement) juste en modulant les amplitudes des lancers: on peut donc en conclure que nous sommes dans une même famille de figures.

Explications identiques pour 4 et 5 balles

Petit détail pour le 4 balles: on n’obtient pas la fontaine " 4 " mais bien une cascade notée dans ce cas (4x,4x) attention quand même aux collision (qui a dit que la cascade à 4 n’existait pas) ; ceci est vrai pour tout les nombres pair de balle.
 
 

Siteswap et figures en passing

(à venir)

Théorème de Shannon (F+D)H=(V+D)N
 

Siteswap et balles à rebond

(à venir)
 
 

Transitions entre figures

(à venir)
 
 

Autre notations
 
 

(à venir)
 
 

Générateurs et interpréteurs

(à venir)
 
 

Références

(à venir)
 
 

Quelques exemples de figures en siteswap
 
 

- 1 balle

les exemples à 1 balle qui suivent ne sont intéressants que pour l’aspect pédagogique du siteswap

-1 : la balle passe rapidement d’une main à l’autre

-20 : une main qui garde l’unique balle (sans la lancer), l’autre main vide

-4000 : la balle est lancée toujours par la même main

-600000 : idem mais plus haut

-300 : la balle est lancée et change de main

-50000 : idem mais plus haut
 

- 2 balles

les 6 exemples à 2 balles qui suivent ne sont intéressants que pour l’aspect pédagogique du siteswap

-22 : une balle dans chaque main sans lancer

-[22]0 : 2 balles une main sans lancer

-[42]020 : 2 balles une main, 1 seule lancée dans la même main, l’autre vide

-4202 : une balle arrêtée dans une main, l’autre lancée toujours par la même main

-[64]00020 : 2 balles une main, lancées simultanément dans la même main

-[53]0020 : idem mais en changeant de main


 

les séquences suivantes sont intéressantes à jongler
 

-40 : 2 balles une main

-8000 : idem mais plus haut

-330 ou 303 : snake 2 balles (cascade 3 balles avec un trou)

-31 : douche 2 balles

-(2X,2X)  : demi-douche 2 balles (échange simultané 1 balle dans chaque main)

-(4,2X)(2X,0)(2X,4)(0,2X) : boîte like

-(8,2X)(4,0)(0,0)(2X,0)(2X,8)(0,4)(0,0)(0,2X) : boîte étendue 2 balles


 
 
 

- 3 balles

 
-3 : cascade classique 3 balles (mais aussi Cascade inversée, Mills’Mess, Boston Mess etc…)

-522 : cascade lente

-72222 : cascade très lente

-55500 : flash 3 balles (partie d’une cascade 5 balles)

-55050 ou 50505 : snake 3 balles (partie d’une cascade 5 balles)

-42 : 2 balles dans une main, 3ième balle gardée sans lancer dans l’autre main. Cette figure apparemment anodine autorise les + grandes fantaisies en déplaçant la main qui conserve la balle (exemples YO-YO, OY-OY , Infini, Fake etc …)

-(4,4)(4,0) : pistons, 3 balles en colonne avec 2 balles dans une main et 1 balle dans l’autre (autorise des tas d’effets suivant le type de lancer)

-(4,4)(4X,0)(4,4)(0,4X) : idem mais avec changement de main

-(6,6)(2X,0)(0,4)(6,6)(0,2X)(4,0) : idem mais la balle passe rapidement dans l’autre main,et est lancée extérieur

-423 : (Rigth-Middle-Left en Anglais) cette figure simple apporte des effets spectaculaires en déplaçant tout simplement la main du 2 (Burkes Barrage, Wave, Fake alterné, Piano,  Follow, etc ….)

-441 : une figure intéressante qui rappelle une figure 4 balles, les effets sont différents suivant les lancers 4 (type fontaine, extérieur ou intérieur ou alterné)

-612 : boîte asynchrone, se rapproche de la boîte classique avec des lancers non simultanés

-(4,2X)(2X,4) : boîte classique

-(4X,2X)(4,2X)(2X,4X)(2X,4) : double boîte (attention, effectuer 1/8 de tour ou déplacer ses bras entre chaque boîte

-51 : douche 3 balles

-(4X,2X) :demi-douche 3 balles et siteswap du Shuffle (la balle 2X est lancée entre les 2 balles 4X)

-4440 : fontaine 4 balles avec trou

-60 : 3 balles une main

-52233 : siteswapp du tennis (cascade à 3 avec une balle, toujours la même, qui fait l’extérieur) et siteswap du Rubenstein Revenge (dérivé du Mills’ Mess avec placement des mains très spécifique)

 
- 4 balles
 
 

(à venir)
 
 
 
 

- 5 balles
 
 

(à venir)
 

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